El teorema fundamental del cálculo integral consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una funcion son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada cálculo.
Una consecuencia directa de este teorema, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular la integral de una función utilizando la antiderivada de la función a ser integrada.
Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.
miércoles, 20 de junio de 2007
ISAAC BARROW
(Londres, 1630 - id., 4 de mayo 1677) fue un teólogo, profesor y matemático inglés al que históricamente se le ha dado menos mérito en su papel en el desarrollo del cálculo moderno. En concreto, en su trabajo respecto a la tangente; por ejemplo, Barrow es famoso por haber sido el primero en calcular las tangentes en la curva de Kappa. Isaac Newton fue discípulo de Barrow.
Barrow empezó el colegio en Charterhouse (donde era tan agresivo y combativo que se cuenta que su padre rezaba a Dios para pedirle que, si algún día tuviera que llevarse a alguno de sus hijos, se llevara a Isaac). Completó su educación en el Trinity College, Cambridge, donde su tío y tocayo (más tarde obispo de St. Asaph), era Miembro de la Junta de Gobierno del colegio. Fue muy estudioso, sobresaliendo especialmente en matemáticas; tras graduarse en 1648, le fue concedido un puesto de investigación en 1649. Residió unos cuantos años en Cambridge, y le fue ofrecido un puesto de profesor de Griego en Cambridge, pero en 1655 fue expulsado debido a la persecución a la que era sometido por los independientes. Los siguientes cuatro años estuvo viajando por Francia, Italia e incluso Constantinopla, y tras varias aventuras regresó a Inglaterra en 1659. Fue ordenado al año siguiente, así como nombrado profesor Regius de griego en Cambridge. En 1662 fue profesor de Geometría en el Gresham College, y en 1663 fue elegido primer profesor Lucasiano en Cambridge. Mientras ocupaba esta cátedra publicó dos trabajos matemáticos de gran aprendizaje y elegancia, el primero de ellos en Geometría y el segundo en Óptica. En 1669 dejó la cátedra en favor de su pupilo, Isaac Newton, quien fue considerado durante mucho tiempo el único matemático inglés que le ha superado. Durante este tiempo también escribió sus Expositions of the Creed, The Lord's Prayer, Decalogue, and Sacraments. El resto de su vida fue muy devota pues se dedicó al estudio de la teología. En 1672 fue director del Trinity College, donde fundó una biblioteca, que regentó hasta su muerte en Cambridge en 1677.
Además de los trabajos ya mencionados, escribió otros importantes tratados en matemáticas, pero en la literatura se dedicó especialmente a escribir sermones, que fueron obras maestras de argumentaciones elocuentes, donde su tratado Pope's Supremacy es considerado como uno de los tratados de controversia más perfectos que existen. Barrow como hombre fue en todos los aspectos digno de sus grandes talentos, aunque tuvo una gran vena excéntrica. Murió sin casarse en Londres a la temprana edad de 47 años.
Ha sido descrito como "bajo de estatura, flaco y de pálido aspecto", despreocupado en sus vestimentas y un empedernido fumador. Fue notoria su fuerza y valentía, y se cuenta que una vez cuando viajaba hacia el Este logró esquivar el ataque de unos piratas gracias a su destreza. Su predisposición e ingenio le hicieron favorito de Charles II, quien indujo a sus cortesanos a respetarle aunque no le mostraran aprecio. Escribía muy a menudo y con algo de majestuosa elocuencia, y con su intachable vida y su escrupulosa conciencia fue uno de los personajes más impresionantes de su tiempo.
Su primer trabajo fue una edición completa de los Elementos de Euclídes, que fue editado en latín en 1655 y posteriormente en inglés en 1660; en 1657 publicó una edición de Datos. Sus lecturas, publicadas en 1664, 1665 y 1666, fueron más tarde publicadas en 1683 bajo el título de Lecciones Matemáticas (en latín Lectiones Mathematicae); la mayoría hablan de fundamentos de metafísica para verdades matemáticas. Sus lecturas de 1667 fueron publicadas el mismo año, y hablan del análisis sobre cómo Arquímedes pudo llegar a los resultados que obtuvo. En 1669 publicó sus Lectiones Opticae et Geometricae. Se dice en el prefacio que el propio Newton revisó y corrigió personalmente estas lecturas, añadiendo ideas propias, pero parece probable que los comentarios de Newton sólo se refirieron a aquellas partes que hablan de los tratados de óptica. Este trabajo, que es su trabajo más importante en matemáticas, volvió a ser publicado con algunas pequeñas modificaciones en 1674. En 1675 publicó una nueva edición con numerosos comentarios de los primeros cuatro libros de On Conic Sections de Apolonio de Pérgamo, y de otros trabajos de Arquímedes y de Teodosio.
Barrow empezó el colegio en Charterhouse (donde era tan agresivo y combativo que se cuenta que su padre rezaba a Dios para pedirle que, si algún día tuviera que llevarse a alguno de sus hijos, se llevara a Isaac). Completó su educación en el Trinity College, Cambridge, donde su tío y tocayo (más tarde obispo de St. Asaph), era Miembro de la Junta de Gobierno del colegio. Fue muy estudioso, sobresaliendo especialmente en matemáticas; tras graduarse en 1648, le fue concedido un puesto de investigación en 1649. Residió unos cuantos años en Cambridge, y le fue ofrecido un puesto de profesor de Griego en Cambridge, pero en 1655 fue expulsado debido a la persecución a la que era sometido por los independientes. Los siguientes cuatro años estuvo viajando por Francia, Italia e incluso Constantinopla, y tras varias aventuras regresó a Inglaterra en 1659. Fue ordenado al año siguiente, así como nombrado profesor Regius de griego en Cambridge. En 1662 fue profesor de Geometría en el Gresham College, y en 1663 fue elegido primer profesor Lucasiano en Cambridge. Mientras ocupaba esta cátedra publicó dos trabajos matemáticos de gran aprendizaje y elegancia, el primero de ellos en Geometría y el segundo en Óptica. En 1669 dejó la cátedra en favor de su pupilo, Isaac Newton, quien fue considerado durante mucho tiempo el único matemático inglés que le ha superado. Durante este tiempo también escribió sus Expositions of the Creed, The Lord's Prayer, Decalogue, and Sacraments. El resto de su vida fue muy devota pues se dedicó al estudio de la teología. En 1672 fue director del Trinity College, donde fundó una biblioteca, que regentó hasta su muerte en Cambridge en 1677.
Además de los trabajos ya mencionados, escribió otros importantes tratados en matemáticas, pero en la literatura se dedicó especialmente a escribir sermones, que fueron obras maestras de argumentaciones elocuentes, donde su tratado Pope's Supremacy es considerado como uno de los tratados de controversia más perfectos que existen. Barrow como hombre fue en todos los aspectos digno de sus grandes talentos, aunque tuvo una gran vena excéntrica. Murió sin casarse en Londres a la temprana edad de 47 años.
Ha sido descrito como "bajo de estatura, flaco y de pálido aspecto", despreocupado en sus vestimentas y un empedernido fumador. Fue notoria su fuerza y valentía, y se cuenta que una vez cuando viajaba hacia el Este logró esquivar el ataque de unos piratas gracias a su destreza. Su predisposición e ingenio le hicieron favorito de Charles II, quien indujo a sus cortesanos a respetarle aunque no le mostraran aprecio. Escribía muy a menudo y con algo de majestuosa elocuencia, y con su intachable vida y su escrupulosa conciencia fue uno de los personajes más impresionantes de su tiempo.
Su primer trabajo fue una edición completa de los Elementos de Euclídes, que fue editado en latín en 1655 y posteriormente en inglés en 1660; en 1657 publicó una edición de Datos. Sus lecturas, publicadas en 1664, 1665 y 1666, fueron más tarde publicadas en 1683 bajo el título de Lecciones Matemáticas (en latín Lectiones Mathematicae); la mayoría hablan de fundamentos de metafísica para verdades matemáticas. Sus lecturas de 1667 fueron publicadas el mismo año, y hablan del análisis sobre cómo Arquímedes pudo llegar a los resultados que obtuvo. En 1669 publicó sus Lectiones Opticae et Geometricae. Se dice en el prefacio que el propio Newton revisó y corrigió personalmente estas lecturas, añadiendo ideas propias, pero parece probable que los comentarios de Newton sólo se refirieron a aquellas partes que hablan de los tratados de óptica. Este trabajo, que es su trabajo más importante en matemáticas, volvió a ser publicado con algunas pequeñas modificaciones en 1674. En 1675 publicó una nueva edición con numerosos comentarios de los primeros cuatro libros de On Conic Sections de Apolonio de Pérgamo, y de otros trabajos de Arquímedes y de Teodosio.
martes, 19 de junio de 2007
domingo, 17 de junio de 2007
CÁLCULO UNFINITESIMAL
Este ilustre matemático y físico ingles nació en el año 1642 en Woolsthorpe. Al quedar huérfano de padre y volverse a casar su madre, fue criado por su abuela.
En 1661 al salir de la escuela de Grantham, ingresó en el Trinity College de Cambridge, donde en 1665 se gradúo bachiller en artes.
Durante su primer curso en Cambridge, leyó obras de Euclides, Descartes, Kepler, Viète y Wallis. A partir de 1663, asistió las clases que impartía Isaac Barrow y se va familiarizando con las obras de Galileo, Fermat, Huygens y otros. A finales de 1664, newton domina con bastante soltura y detalle los conocimientos matemáticos de la época y esta en condiciones de hacer sus propias contribuciones.
Durante los primeros meses de 1665 hace sus primeros descubrimientos sobre las series finitas y empieza a pensar en la velocidad de cambio o fluxión de magnitudes que varían de manera continua, tales como longitudes, áreas, distancias, etc. Estos dos tipos de problemas loa asocio bajo el nombre de "Mi método".
Inmediatamente después de graduarse, regresó a su casa y allí permaneció durante todo el año 1666, ya que el Trinity College estuvo cerrado a causa de la epidemia de peste que asoló a Inglaterra en esta época.
Este periodo lo dedico Newton a pensar, y como consecuencia de ello conseguirá sus principales descubrimientos: El teorema Binomial, el Cálculo, la Ley de Gravitación universal y La naturaleza de las cosas.
En 1668 volvió al Trinity College, del que había sido nombrado fellow el año anterior. Allí vivirá los veintiocho años siguientes dedicado a sus investigaciones, cuyos resultados han inmortalizado su nombre.
Cuando Barrow se retira de la enseñanza, en 1669, a causa de ser nombrado capellán del rey Carlos II, coopera para que nombren a Newton como sucesor suyo en la cátedra de matemáticas.
Al ser nombrado, Newton, gobernador de la Casa de la Moneda Británica, abandona Cambridge en 1696 y residirá en Londres el resto de su vida.
Desde 1703 hasta su muerte, acaecida en 1728, ocupó la presidencia del club científico británico, La Royal Society, y en 1705 fue nombrado caballero por la reina Ana.
Newton era poco hablador y además le desagradaban tanto las luchas y las criticas que se originaban inevitablemente en torno de las manifestaciones científicas que, a causa de la controversia que originó, en 1672, un artículo suyo publicado en la Philosophical Transactions sobre la naturaleza de los colores, decidió no publicar nada más, hasta que en una ocasión el astrónomo Edmund Halley fue a preguntarle si sabía qué trayectoria seguiría un planeta alrededor del sol suponiendo que la única fuerza que la influyera fuese una fuerza que disminuye en relación con el cuadrado de su distancia respecto al sol. La respuesta de Newton fue inmediata "la trayectoria es elíptica".
Al explicar newton todos los pormenores sobre el tema en cuestión, Halley le alentó para que volviera a crear sus cálculos originales y los publicase. El resultado fue la obra más influyente y revolucionaria que jamás apareciera impresa. Newton la tituló Philosophie Naturalis Principia Mathematica, más conocida por Los Principia. En ella no sólo explica y razona físicamente el sistema solar, sino que también establece las leyes de las dinámica por medio del Cálculo.
Sin embargo, ni las instigaciones de Halley ni de Wallis pudieron convencer a Newton para que publicase su versión de Cálculo, hasta que otro matemático, el alemán G. W. Leibniz, 1n 1684, publica en la revista científica Acta Eruditorum un procedimiento que había conseguido independientemente en 1675 para el cálculo de las tangentes a una curva cualquiera. Este procedimiento era análogo al aplicado por Newton en 1665 para el cálculo de velocidades y aceleraciones en movimientos variados y que le habían conducido a inventar el cálculo.
De ahí, que si bien la primera exposición matemática del cálculo la hace Newton en su obra De Analysi, escrita en 1669 y publicada en 1711, su exposición inteligible del cálculo se encuentra en la obra De quadratura curvarum, la cual figura como anexa a otra obra titulada La optiks, impresa en 1704.
Isaac Barrow
El precursor de Newton en el cálculo fue su profesor Isaac Barrow, quien en 1670 publicó la obra Lectiones geometricae, en la que expone un procedimiento para trazar una tangente a una curva, en el cual utiliza por primera vez unas cantidades equivalentes a los términos modernos D x y D y, Este procedimiento no lo pudo generalizar debido q que carecía de una algoritmo universal para el binomio con exponentes enteros y negativos, y fraccionarios.
En 1661 al salir de la escuela de Grantham, ingresó en el Trinity College de Cambridge, donde en 1665 se gradúo bachiller en artes.
Durante su primer curso en Cambridge, leyó obras de Euclides, Descartes, Kepler, Viète y Wallis. A partir de 1663, asistió las clases que impartía Isaac Barrow y se va familiarizando con las obras de Galileo, Fermat, Huygens y otros. A finales de 1664, newton domina con bastante soltura y detalle los conocimientos matemáticos de la época y esta en condiciones de hacer sus propias contribuciones.
Durante los primeros meses de 1665 hace sus primeros descubrimientos sobre las series finitas y empieza a pensar en la velocidad de cambio o fluxión de magnitudes que varían de manera continua, tales como longitudes, áreas, distancias, etc. Estos dos tipos de problemas loa asocio bajo el nombre de "Mi método".
Inmediatamente después de graduarse, regresó a su casa y allí permaneció durante todo el año 1666, ya que el Trinity College estuvo cerrado a causa de la epidemia de peste que asoló a Inglaterra en esta época.
Este periodo lo dedico Newton a pensar, y como consecuencia de ello conseguirá sus principales descubrimientos: El teorema Binomial, el Cálculo, la Ley de Gravitación universal y La naturaleza de las cosas.
En 1668 volvió al Trinity College, del que había sido nombrado fellow el año anterior. Allí vivirá los veintiocho años siguientes dedicado a sus investigaciones, cuyos resultados han inmortalizado su nombre.
Cuando Barrow se retira de la enseñanza, en 1669, a causa de ser nombrado capellán del rey Carlos II, coopera para que nombren a Newton como sucesor suyo en la cátedra de matemáticas.
Al ser nombrado, Newton, gobernador de la Casa de la Moneda Británica, abandona Cambridge en 1696 y residirá en Londres el resto de su vida.
Desde 1703 hasta su muerte, acaecida en 1728, ocupó la presidencia del club científico británico, La Royal Society, y en 1705 fue nombrado caballero por la reina Ana.
Newton era poco hablador y además le desagradaban tanto las luchas y las criticas que se originaban inevitablemente en torno de las manifestaciones científicas que, a causa de la controversia que originó, en 1672, un artículo suyo publicado en la Philosophical Transactions sobre la naturaleza de los colores, decidió no publicar nada más, hasta que en una ocasión el astrónomo Edmund Halley fue a preguntarle si sabía qué trayectoria seguiría un planeta alrededor del sol suponiendo que la única fuerza que la influyera fuese una fuerza que disminuye en relación con el cuadrado de su distancia respecto al sol. La respuesta de Newton fue inmediata "la trayectoria es elíptica".
Al explicar newton todos los pormenores sobre el tema en cuestión, Halley le alentó para que volviera a crear sus cálculos originales y los publicase. El resultado fue la obra más influyente y revolucionaria que jamás apareciera impresa. Newton la tituló Philosophie Naturalis Principia Mathematica, más conocida por Los Principia. En ella no sólo explica y razona físicamente el sistema solar, sino que también establece las leyes de las dinámica por medio del Cálculo.
Sin embargo, ni las instigaciones de Halley ni de Wallis pudieron convencer a Newton para que publicase su versión de Cálculo, hasta que otro matemático, el alemán G. W. Leibniz, 1n 1684, publica en la revista científica Acta Eruditorum un procedimiento que había conseguido independientemente en 1675 para el cálculo de las tangentes a una curva cualquiera. Este procedimiento era análogo al aplicado por Newton en 1665 para el cálculo de velocidades y aceleraciones en movimientos variados y que le habían conducido a inventar el cálculo.
De ahí, que si bien la primera exposición matemática del cálculo la hace Newton en su obra De Analysi, escrita en 1669 y publicada en 1711, su exposición inteligible del cálculo se encuentra en la obra De quadratura curvarum, la cual figura como anexa a otra obra titulada La optiks, impresa en 1704.
Isaac Barrow
El precursor de Newton en el cálculo fue su profesor Isaac Barrow, quien en 1670 publicó la obra Lectiones geometricae, en la que expone un procedimiento para trazar una tangente a una curva, en el cual utiliza por primera vez unas cantidades equivalentes a los términos modernos D x y D y, Este procedimiento no lo pudo generalizar debido q que carecía de una algoritmo universal para el binomio con exponentes enteros y negativos, y fraccionarios.
CALCULO INTGRAL
En Matemáticas, la integración se relaciona con dos problemas clásicos del Análisis Matemático, aparentemente no relacionados:
El cálculo de áreas y volúmenes, y la acción que una función de una o varias variables le aplica a las regiones antes mencionadas.
La obtención de la primitiva de una función, esto es, aquella cuya derivada es la función dada, realizando la "operación inversa" a la derivación
Los estudios de Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, dieron forma al teorema fundamental del cálculo, que establece la íntima relación en la solución de ambos problemas. Se denomina integración definida a la obtención del área bajo una curva, e integración indefinida a la operación inversa de la derivación. También se denomina integración a la resolución de una ecuación diferencal, una ecuación en la que la incógnita es una o varias funciones y sus derivadas.
El cálculo de áreas y volúmenes, y la acción que una función de una o varias variables le aplica a las regiones antes mencionadas.
La obtención de la primitiva de una función, esto es, aquella cuya derivada es la función dada, realizando la "operación inversa" a la derivación
Los estudios de Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, dieron forma al teorema fundamental del cálculo, que establece la íntima relación en la solución de ambos problemas. Se denomina integración definida a la obtención del área bajo una curva, e integración indefinida a la operación inversa de la derivación. También se denomina integración a la resolución de una ecuación diferencal, una ecuación en la que la incógnita es una o varias funciones y sus derivadas.
CALCULO DIFERENCAIL
La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos. La derivada de f(x) se puede escribir de varias formas: f ′(x) (se pronuncia f prima de x), d/dx[f(x)] (se pronouncia d en d x de f de x), df/dx (se pronouncia d f en d x), o Dxf (se pronouncia d sub x de f).
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