El TEOREMA DEL BINOMIO

La serie del binomio fue descubierta por Newton el invierno de 1664. Aparece expuesta en dos cartas, la Epistola prior de Junio de 1676 y la Epistola posterior de Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg, para que se las transmitiera a Leibniz. Dice Newton:
"La extracción de raíces cuadradas se simplifica con este teorema
(P+PQ)m/n=Pm/n+
m
n
AQ+
m-n
2n
BQ+
m-2n
3n
CQ+
m-3n
4n
DQ+ donde A, B, C, ... son los términos inmediatos que les preceden en el desarrollo".
Expresado de esta forma suena poco familiar, Newton quiere decir que toma
A = Pm/n
B =
m
n
AQ =
m
n
Pm/nQ
C =
m-n
2n
BQ=
m-n
2n
(
m
n
Pm/nQ
)
Q =
(
m
n
)
(
m
n
-1
)
2
Pm/nQ2
D =
m-2n
3n
CQ=
m
n
(
m
n
-1
)
(
m
n
-2
)
3x2
Pm/nQ2
...
y así sucesivamente.
De esta forma queda
Pm/n(1+Q)m/n=(P+PQ)m/n=Pm/n
(
1+
m
n
Q+
m
n
[
m
n
-1
]
2
Q2+
+
m
n
[
m
n
-1
]
[
m
n
-2
]
3 x2
Q3+
)
dividiendo por Pm/n
(1+Q)m/n=1+
m
n
Q+
(
m
n
)
(
m
n
-1
)
2
Q2+
m
n
(
m
n
-1
)
(
m
n
-2
)
2x3
Q2+ que es la expresión más familiar que usamos ahora. Aunque el binomio para enteros positivos era conocido desde hacía tiempo, el interés del descubrimiento de Newton está en que lo usa para exponentes fraccionarios y negativos y en que aparece una suma infinita en vez del desarrollo finito anterior. En nuestra notación actual escribimos comúnmente
(1+Q)a=
¥ S n=1
(
a n
)
xndonde a es un número real cualquiera y los coeficientes binomiales se definen como
(
a n
)
=
a(a-1) (a-n+1)
n!
Para el caso en que a sea entero positivo sale un desarrollo finito ya que
(
a n
)
=
0para n > a, al ser cero uno de los factores del numerador que define el coeficiente binomial. Por ejemplo (1+x)3=1+3x+3x2+x4.
Pero en el caso de no ser a entero aparecen series infinitas como
1
1+x
=(1+x)-1=1-x+x2-x3+




=(1+x)1/2=1+
x
2
-
x2
8
+
x3
16
+ Newton escribió casos particulares como éstos en su carta y las usó para el cálculo de raíces cuadradas. Observó por ejemplo
obteniendo una gran precisión con sólo unos pocos términos. El avance era considerable.
Ahora sabemos que la serie que define (1+x)a converge para x < 1. Newton no habla de convergencia, pero es consciente de ello y usa cierta intuición en sus cálculos, por ejemplo utilizaba
y=
1
1+x2
=1-x2+x4-x6+x8- para x pequeños, pero la cambiaba a
y=
1
1+x2
=
1/x2
1+1/x2
= x-2-x-4-x-6-x-8+ para x grandes.