El teorema fundamental del cálculo integral consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una funcion son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada cálculo.
Una consecuencia directa de este teorema, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular la integral de una función utilizando la antiderivada de la función a ser integrada.
Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.
miércoles, 20 de junio de 2007
ISAAC BARROW
(Londres, 1630 - id., 4 de mayo 1677) fue un teólogo, profesor y matemático inglés al que históricamente se le ha dado menos mérito en su papel en el desarrollo del cálculo moderno. En concreto, en su trabajo respecto a la tangente; por ejemplo, Barrow es famoso por haber sido el primero en calcular las tangentes en la curva de Kappa. Isaac Newton fue discípulo de Barrow.
Barrow empezó el colegio en Charterhouse (donde era tan agresivo y combativo que se cuenta que su padre rezaba a Dios para pedirle que, si algún día tuviera que llevarse a alguno de sus hijos, se llevara a Isaac). Completó su educación en el Trinity College, Cambridge, donde su tío y tocayo (más tarde obispo de St. Asaph), era Miembro de la Junta de Gobierno del colegio. Fue muy estudioso, sobresaliendo especialmente en matemáticas; tras graduarse en 1648, le fue concedido un puesto de investigación en 1649. Residió unos cuantos años en Cambridge, y le fue ofrecido un puesto de profesor de Griego en Cambridge, pero en 1655 fue expulsado debido a la persecución a la que era sometido por los independientes. Los siguientes cuatro años estuvo viajando por Francia, Italia e incluso Constantinopla, y tras varias aventuras regresó a Inglaterra en 1659. Fue ordenado al año siguiente, así como nombrado profesor Regius de griego en Cambridge. En 1662 fue profesor de Geometría en el Gresham College, y en 1663 fue elegido primer profesor Lucasiano en Cambridge. Mientras ocupaba esta cátedra publicó dos trabajos matemáticos de gran aprendizaje y elegancia, el primero de ellos en Geometría y el segundo en Óptica. En 1669 dejó la cátedra en favor de su pupilo, Isaac Newton, quien fue considerado durante mucho tiempo el único matemático inglés que le ha superado. Durante este tiempo también escribió sus Expositions of the Creed, The Lord's Prayer, Decalogue, and Sacraments. El resto de su vida fue muy devota pues se dedicó al estudio de la teología. En 1672 fue director del Trinity College, donde fundó una biblioteca, que regentó hasta su muerte en Cambridge en 1677.
Además de los trabajos ya mencionados, escribió otros importantes tratados en matemáticas, pero en la literatura se dedicó especialmente a escribir sermones, que fueron obras maestras de argumentaciones elocuentes, donde su tratado Pope's Supremacy es considerado como uno de los tratados de controversia más perfectos que existen. Barrow como hombre fue en todos los aspectos digno de sus grandes talentos, aunque tuvo una gran vena excéntrica. Murió sin casarse en Londres a la temprana edad de 47 años.
Ha sido descrito como "bajo de estatura, flaco y de pálido aspecto", despreocupado en sus vestimentas y un empedernido fumador. Fue notoria su fuerza y valentía, y se cuenta que una vez cuando viajaba hacia el Este logró esquivar el ataque de unos piratas gracias a su destreza. Su predisposición e ingenio le hicieron favorito de Charles II, quien indujo a sus cortesanos a respetarle aunque no le mostraran aprecio. Escribía muy a menudo y con algo de majestuosa elocuencia, y con su intachable vida y su escrupulosa conciencia fue uno de los personajes más impresionantes de su tiempo.
Su primer trabajo fue una edición completa de los Elementos de Euclídes, que fue editado en latín en 1655 y posteriormente en inglés en 1660; en 1657 publicó una edición de Datos. Sus lecturas, publicadas en 1664, 1665 y 1666, fueron más tarde publicadas en 1683 bajo el título de Lecciones Matemáticas (en latín Lectiones Mathematicae); la mayoría hablan de fundamentos de metafísica para verdades matemáticas. Sus lecturas de 1667 fueron publicadas el mismo año, y hablan del análisis sobre cómo Arquímedes pudo llegar a los resultados que obtuvo. En 1669 publicó sus Lectiones Opticae et Geometricae. Se dice en el prefacio que el propio Newton revisó y corrigió personalmente estas lecturas, añadiendo ideas propias, pero parece probable que los comentarios de Newton sólo se refirieron a aquellas partes que hablan de los tratados de óptica. Este trabajo, que es su trabajo más importante en matemáticas, volvió a ser publicado con algunas pequeñas modificaciones en 1674. En 1675 publicó una nueva edición con numerosos comentarios de los primeros cuatro libros de On Conic Sections de Apolonio de Pérgamo, y de otros trabajos de Arquímedes y de Teodosio.
Barrow empezó el colegio en Charterhouse (donde era tan agresivo y combativo que se cuenta que su padre rezaba a Dios para pedirle que, si algún día tuviera que llevarse a alguno de sus hijos, se llevara a Isaac). Completó su educación en el Trinity College, Cambridge, donde su tío y tocayo (más tarde obispo de St. Asaph), era Miembro de la Junta de Gobierno del colegio. Fue muy estudioso, sobresaliendo especialmente en matemáticas; tras graduarse en 1648, le fue concedido un puesto de investigación en 1649. Residió unos cuantos años en Cambridge, y le fue ofrecido un puesto de profesor de Griego en Cambridge, pero en 1655 fue expulsado debido a la persecución a la que era sometido por los independientes. Los siguientes cuatro años estuvo viajando por Francia, Italia e incluso Constantinopla, y tras varias aventuras regresó a Inglaterra en 1659. Fue ordenado al año siguiente, así como nombrado profesor Regius de griego en Cambridge. En 1662 fue profesor de Geometría en el Gresham College, y en 1663 fue elegido primer profesor Lucasiano en Cambridge. Mientras ocupaba esta cátedra publicó dos trabajos matemáticos de gran aprendizaje y elegancia, el primero de ellos en Geometría y el segundo en Óptica. En 1669 dejó la cátedra en favor de su pupilo, Isaac Newton, quien fue considerado durante mucho tiempo el único matemático inglés que le ha superado. Durante este tiempo también escribió sus Expositions of the Creed, The Lord's Prayer, Decalogue, and Sacraments. El resto de su vida fue muy devota pues se dedicó al estudio de la teología. En 1672 fue director del Trinity College, donde fundó una biblioteca, que regentó hasta su muerte en Cambridge en 1677.
Además de los trabajos ya mencionados, escribió otros importantes tratados en matemáticas, pero en la literatura se dedicó especialmente a escribir sermones, que fueron obras maestras de argumentaciones elocuentes, donde su tratado Pope's Supremacy es considerado como uno de los tratados de controversia más perfectos que existen. Barrow como hombre fue en todos los aspectos digno de sus grandes talentos, aunque tuvo una gran vena excéntrica. Murió sin casarse en Londres a la temprana edad de 47 años.
Ha sido descrito como "bajo de estatura, flaco y de pálido aspecto", despreocupado en sus vestimentas y un empedernido fumador. Fue notoria su fuerza y valentía, y se cuenta que una vez cuando viajaba hacia el Este logró esquivar el ataque de unos piratas gracias a su destreza. Su predisposición e ingenio le hicieron favorito de Charles II, quien indujo a sus cortesanos a respetarle aunque no le mostraran aprecio. Escribía muy a menudo y con algo de majestuosa elocuencia, y con su intachable vida y su escrupulosa conciencia fue uno de los personajes más impresionantes de su tiempo.
Su primer trabajo fue una edición completa de los Elementos de Euclídes, que fue editado en latín en 1655 y posteriormente en inglés en 1660; en 1657 publicó una edición de Datos. Sus lecturas, publicadas en 1664, 1665 y 1666, fueron más tarde publicadas en 1683 bajo el título de Lecciones Matemáticas (en latín Lectiones Mathematicae); la mayoría hablan de fundamentos de metafísica para verdades matemáticas. Sus lecturas de 1667 fueron publicadas el mismo año, y hablan del análisis sobre cómo Arquímedes pudo llegar a los resultados que obtuvo. En 1669 publicó sus Lectiones Opticae et Geometricae. Se dice en el prefacio que el propio Newton revisó y corrigió personalmente estas lecturas, añadiendo ideas propias, pero parece probable que los comentarios de Newton sólo se refirieron a aquellas partes que hablan de los tratados de óptica. Este trabajo, que es su trabajo más importante en matemáticas, volvió a ser publicado con algunas pequeñas modificaciones en 1674. En 1675 publicó una nueva edición con numerosos comentarios de los primeros cuatro libros de On Conic Sections de Apolonio de Pérgamo, y de otros trabajos de Arquímedes y de Teodosio.
martes, 19 de junio de 2007
domingo, 17 de junio de 2007
CÁLCULO UNFINITESIMAL
Este ilustre matemático y físico ingles nació en el año 1642 en Woolsthorpe. Al quedar huérfano de padre y volverse a casar su madre, fue criado por su abuela.
En 1661 al salir de la escuela de Grantham, ingresó en el Trinity College de Cambridge, donde en 1665 se gradúo bachiller en artes.
Durante su primer curso en Cambridge, leyó obras de Euclides, Descartes, Kepler, Viète y Wallis. A partir de 1663, asistió las clases que impartía Isaac Barrow y se va familiarizando con las obras de Galileo, Fermat, Huygens y otros. A finales de 1664, newton domina con bastante soltura y detalle los conocimientos matemáticos de la época y esta en condiciones de hacer sus propias contribuciones.
Durante los primeros meses de 1665 hace sus primeros descubrimientos sobre las series finitas y empieza a pensar en la velocidad de cambio o fluxión de magnitudes que varían de manera continua, tales como longitudes, áreas, distancias, etc. Estos dos tipos de problemas loa asocio bajo el nombre de "Mi método".
Inmediatamente después de graduarse, regresó a su casa y allí permaneció durante todo el año 1666, ya que el Trinity College estuvo cerrado a causa de la epidemia de peste que asoló a Inglaterra en esta época.
Este periodo lo dedico Newton a pensar, y como consecuencia de ello conseguirá sus principales descubrimientos: El teorema Binomial, el Cálculo, la Ley de Gravitación universal y La naturaleza de las cosas.
En 1668 volvió al Trinity College, del que había sido nombrado fellow el año anterior. Allí vivirá los veintiocho años siguientes dedicado a sus investigaciones, cuyos resultados han inmortalizado su nombre.
Cuando Barrow se retira de la enseñanza, en 1669, a causa de ser nombrado capellán del rey Carlos II, coopera para que nombren a Newton como sucesor suyo en la cátedra de matemáticas.
Al ser nombrado, Newton, gobernador de la Casa de la Moneda Británica, abandona Cambridge en 1696 y residirá en Londres el resto de su vida.
Desde 1703 hasta su muerte, acaecida en 1728, ocupó la presidencia del club científico británico, La Royal Society, y en 1705 fue nombrado caballero por la reina Ana.
Newton era poco hablador y además le desagradaban tanto las luchas y las criticas que se originaban inevitablemente en torno de las manifestaciones científicas que, a causa de la controversia que originó, en 1672, un artículo suyo publicado en la Philosophical Transactions sobre la naturaleza de los colores, decidió no publicar nada más, hasta que en una ocasión el astrónomo Edmund Halley fue a preguntarle si sabía qué trayectoria seguiría un planeta alrededor del sol suponiendo que la única fuerza que la influyera fuese una fuerza que disminuye en relación con el cuadrado de su distancia respecto al sol. La respuesta de Newton fue inmediata "la trayectoria es elíptica".
Al explicar newton todos los pormenores sobre el tema en cuestión, Halley le alentó para que volviera a crear sus cálculos originales y los publicase. El resultado fue la obra más influyente y revolucionaria que jamás apareciera impresa. Newton la tituló Philosophie Naturalis Principia Mathematica, más conocida por Los Principia. En ella no sólo explica y razona físicamente el sistema solar, sino que también establece las leyes de las dinámica por medio del Cálculo.
Sin embargo, ni las instigaciones de Halley ni de Wallis pudieron convencer a Newton para que publicase su versión de Cálculo, hasta que otro matemático, el alemán G. W. Leibniz, 1n 1684, publica en la revista científica Acta Eruditorum un procedimiento que había conseguido independientemente en 1675 para el cálculo de las tangentes a una curva cualquiera. Este procedimiento era análogo al aplicado por Newton en 1665 para el cálculo de velocidades y aceleraciones en movimientos variados y que le habían conducido a inventar el cálculo.
De ahí, que si bien la primera exposición matemática del cálculo la hace Newton en su obra De Analysi, escrita en 1669 y publicada en 1711, su exposición inteligible del cálculo se encuentra en la obra De quadratura curvarum, la cual figura como anexa a otra obra titulada La optiks, impresa en 1704.
Isaac Barrow
El precursor de Newton en el cálculo fue su profesor Isaac Barrow, quien en 1670 publicó la obra Lectiones geometricae, en la que expone un procedimiento para trazar una tangente a una curva, en el cual utiliza por primera vez unas cantidades equivalentes a los términos modernos D x y D y, Este procedimiento no lo pudo generalizar debido q que carecía de una algoritmo universal para el binomio con exponentes enteros y negativos, y fraccionarios.
En 1661 al salir de la escuela de Grantham, ingresó en el Trinity College de Cambridge, donde en 1665 se gradúo bachiller en artes.
Durante su primer curso en Cambridge, leyó obras de Euclides, Descartes, Kepler, Viète y Wallis. A partir de 1663, asistió las clases que impartía Isaac Barrow y se va familiarizando con las obras de Galileo, Fermat, Huygens y otros. A finales de 1664, newton domina con bastante soltura y detalle los conocimientos matemáticos de la época y esta en condiciones de hacer sus propias contribuciones.
Durante los primeros meses de 1665 hace sus primeros descubrimientos sobre las series finitas y empieza a pensar en la velocidad de cambio o fluxión de magnitudes que varían de manera continua, tales como longitudes, áreas, distancias, etc. Estos dos tipos de problemas loa asocio bajo el nombre de "Mi método".
Inmediatamente después de graduarse, regresó a su casa y allí permaneció durante todo el año 1666, ya que el Trinity College estuvo cerrado a causa de la epidemia de peste que asoló a Inglaterra en esta época.
Este periodo lo dedico Newton a pensar, y como consecuencia de ello conseguirá sus principales descubrimientos: El teorema Binomial, el Cálculo, la Ley de Gravitación universal y La naturaleza de las cosas.
En 1668 volvió al Trinity College, del que había sido nombrado fellow el año anterior. Allí vivirá los veintiocho años siguientes dedicado a sus investigaciones, cuyos resultados han inmortalizado su nombre.
Cuando Barrow se retira de la enseñanza, en 1669, a causa de ser nombrado capellán del rey Carlos II, coopera para que nombren a Newton como sucesor suyo en la cátedra de matemáticas.
Al ser nombrado, Newton, gobernador de la Casa de la Moneda Británica, abandona Cambridge en 1696 y residirá en Londres el resto de su vida.
Desde 1703 hasta su muerte, acaecida en 1728, ocupó la presidencia del club científico británico, La Royal Society, y en 1705 fue nombrado caballero por la reina Ana.
Newton era poco hablador y además le desagradaban tanto las luchas y las criticas que se originaban inevitablemente en torno de las manifestaciones científicas que, a causa de la controversia que originó, en 1672, un artículo suyo publicado en la Philosophical Transactions sobre la naturaleza de los colores, decidió no publicar nada más, hasta que en una ocasión el astrónomo Edmund Halley fue a preguntarle si sabía qué trayectoria seguiría un planeta alrededor del sol suponiendo que la única fuerza que la influyera fuese una fuerza que disminuye en relación con el cuadrado de su distancia respecto al sol. La respuesta de Newton fue inmediata "la trayectoria es elíptica".
Al explicar newton todos los pormenores sobre el tema en cuestión, Halley le alentó para que volviera a crear sus cálculos originales y los publicase. El resultado fue la obra más influyente y revolucionaria que jamás apareciera impresa. Newton la tituló Philosophie Naturalis Principia Mathematica, más conocida por Los Principia. En ella no sólo explica y razona físicamente el sistema solar, sino que también establece las leyes de las dinámica por medio del Cálculo.
Sin embargo, ni las instigaciones de Halley ni de Wallis pudieron convencer a Newton para que publicase su versión de Cálculo, hasta que otro matemático, el alemán G. W. Leibniz, 1n 1684, publica en la revista científica Acta Eruditorum un procedimiento que había conseguido independientemente en 1675 para el cálculo de las tangentes a una curva cualquiera. Este procedimiento era análogo al aplicado por Newton en 1665 para el cálculo de velocidades y aceleraciones en movimientos variados y que le habían conducido a inventar el cálculo.
De ahí, que si bien la primera exposición matemática del cálculo la hace Newton en su obra De Analysi, escrita en 1669 y publicada en 1711, su exposición inteligible del cálculo se encuentra en la obra De quadratura curvarum, la cual figura como anexa a otra obra titulada La optiks, impresa en 1704.
Isaac Barrow
El precursor de Newton en el cálculo fue su profesor Isaac Barrow, quien en 1670 publicó la obra Lectiones geometricae, en la que expone un procedimiento para trazar una tangente a una curva, en el cual utiliza por primera vez unas cantidades equivalentes a los términos modernos D x y D y, Este procedimiento no lo pudo generalizar debido q que carecía de una algoritmo universal para el binomio con exponentes enteros y negativos, y fraccionarios.
CALCULO INTGRAL
En Matemáticas, la integración se relaciona con dos problemas clásicos del Análisis Matemático, aparentemente no relacionados:
El cálculo de áreas y volúmenes, y la acción que una función de una o varias variables le aplica a las regiones antes mencionadas.
La obtención de la primitiva de una función, esto es, aquella cuya derivada es la función dada, realizando la "operación inversa" a la derivación
Los estudios de Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, dieron forma al teorema fundamental del cálculo, que establece la íntima relación en la solución de ambos problemas. Se denomina integración definida a la obtención del área bajo una curva, e integración indefinida a la operación inversa de la derivación. También se denomina integración a la resolución de una ecuación diferencal, una ecuación en la que la incógnita es una o varias funciones y sus derivadas.
El cálculo de áreas y volúmenes, y la acción que una función de una o varias variables le aplica a las regiones antes mencionadas.
La obtención de la primitiva de una función, esto es, aquella cuya derivada es la función dada, realizando la "operación inversa" a la derivación
Los estudios de Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, dieron forma al teorema fundamental del cálculo, que establece la íntima relación en la solución de ambos problemas. Se denomina integración definida a la obtención del área bajo una curva, e integración indefinida a la operación inversa de la derivación. También se denomina integración a la resolución de una ecuación diferencal, una ecuación en la que la incógnita es una o varias funciones y sus derivadas.
CALCULO DIFERENCAIL
La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos. La derivada de f(x) se puede escribir de varias formas: f ′(x) (se pronuncia f prima de x), d/dx[f(x)] (se pronouncia d en d x de f de x), df/dx (se pronouncia d f en d x), o Dxf (se pronouncia d sub x de f).
CALCULO DE PROBABILIDADES
INTRODUCCIÓN: El nacimiento del cálculo de probabilidades estuvo ligado a los juegos de azar. Cardano (que tenía una afición desordenada por el ajedrez y los dados, según reconoce en su autobiografía) escribió “Libro sobre los juegos de azar”, publicado póstumamente en 1663, y que fue considerado el primer tratado serio sobre las probabilidades matemáticas. La correspondencia que Pascal y Fermat intercambiaron ( a mediados del siglo XVII) sobre la geometría del azar marca el nacimiento de la nueva ciencia.
En la actualidad el Cálculo de Probabilidades ha llegado a ser la rama de las matemáticas de mayor penetración en todos los campos, directamente o a través de la Estadística.
El estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno. Los juegos de azar muestran que ha habido un interés en cuantificar las ideas de la probabilidad durante milenios, pero las descripciones matemáticas exactas de utilidad en estos problemas sólo surgieron mucho después.
Según Richard Jeffrey, "Antes de la mitad del siglo XVII, el término 'probable' (en latín probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido, unívocamente, a la opinión y a la acción. Una acción o opinión probable era una que las personas sensatas emprenderían o mantendrían, en las circunstancias."[1]
Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por Girolamo Cardano en el siglo XVI, la doctrina de las probabilidades data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto. Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas. Véase El surgimiento de la probabilidad (The Emergence of Probability) de Ian Hacking para una historia de los inicios del desarrollo del propio concepto de probabilidad matemática.
La teoría de errores puede trazarse atrás en el tiempo hasta Opera Miscellanea (póstumo, 1722) de Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría para la discusión de errores de observación. La reimpresión (1757) de esta memoria expone los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos límites asignables dentro de los cuales se supone que caen todos los errores; se discuten los errores continuos y se da una curva de la probabilidad.
Pierre-Simon Laplace (1774) hizo el primer intento para deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de las probabilidades. Representó la ley de la probabilidad de error con una curva y = φ(x), siendo x cualquier error e y su probabilidad, y expuso tres propiedades de esta curva:
es simétrica al eje y;
el eje x es una asíntota, siendo la probabilidad del error igual a 0;
la superficie cerrada es 1, haciendo cierta la existencia de un error.
Dedujo una fórmula para la media de tres observaciones. También obtuvo (1781) una fórmula para la ley de facilidad de error (un término debido a Lagrange, 1774), pero una que llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.
El método de mínimos cuadrados se debe a Adrien-Marie Legendre (1805), que lo introdujo en su Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Nuevos métodos para la determinación de las órbitas de los cometas). Ignorando la contribución de Legendre, un escritor irlandés estadounidense, Robert Adrain, editor de "The Analyst" (1808), dedujo por primera vez la ley de facilidad de error,
siendo c y h constantes que dependen de la precisión de la observación. Expuso dos demostraciones, siendo la segunda esencialmente la misma de John Herschel (1850). Gauss expuso la primera demostración que parece que se conoció en Europa (la tercera después de la de Adrain) en 1809. Demostraciones adicionales se expusieron por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856) y Morgan Crofton (1870). Otros personajes que contribuyeron fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters (1856) para r, el error probable de una única observación, es bien conocida.
En el siglo XIX, los autores de la teoría general incluían a Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la exposición de la teoría.
En la parte geométrica (véase geometría integral) los colaboradores de The Educational Times fueron influyentes (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson y Artemas Martin).
Teoría [editar]
Artículo principal: Teoría de la probabilidad
Como otras teorías, la teoría de la probabilidad es una representación de conceptos probabilísticos en términos formales—esto es, en términos que pueden ser considerados separados de su significado. Estos términos formales se manipulan con las reglas de la matemática y la lógica, y cualquier resultado entonces se interpreta o traduce de nuevo al dominio del problema.
Hay otras reglas para cuantificar la incertidumbre, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la posibilidad, pero éstas son esencialmente diferentes y no compatibles con las leyes de la probabilidad como se entienden normalmente
En la actualidad el Cálculo de Probabilidades ha llegado a ser la rama de las matemáticas de mayor penetración en todos los campos, directamente o a través de la Estadística.
El estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno. Los juegos de azar muestran que ha habido un interés en cuantificar las ideas de la probabilidad durante milenios, pero las descripciones matemáticas exactas de utilidad en estos problemas sólo surgieron mucho después.
Según Richard Jeffrey, "Antes de la mitad del siglo XVII, el término 'probable' (en latín probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido, unívocamente, a la opinión y a la acción. Una acción o opinión probable era una que las personas sensatas emprenderían o mantendrían, en las circunstancias."[1]
Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por Girolamo Cardano en el siglo XVI, la doctrina de las probabilidades data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto. Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas. Véase El surgimiento de la probabilidad (The Emergence of Probability) de Ian Hacking para una historia de los inicios del desarrollo del propio concepto de probabilidad matemática.
La teoría de errores puede trazarse atrás en el tiempo hasta Opera Miscellanea (póstumo, 1722) de Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría para la discusión de errores de observación. La reimpresión (1757) de esta memoria expone los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos límites asignables dentro de los cuales se supone que caen todos los errores; se discuten los errores continuos y se da una curva de la probabilidad.
Pierre-Simon Laplace (1774) hizo el primer intento para deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de las probabilidades. Representó la ley de la probabilidad de error con una curva y = φ(x), siendo x cualquier error e y su probabilidad, y expuso tres propiedades de esta curva:
es simétrica al eje y;
el eje x es una asíntota, siendo la probabilidad del error igual a 0;
la superficie cerrada es 1, haciendo cierta la existencia de un error.
Dedujo una fórmula para la media de tres observaciones. También obtuvo (1781) una fórmula para la ley de facilidad de error (un término debido a Lagrange, 1774), pero una que llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.
El método de mínimos cuadrados se debe a Adrien-Marie Legendre (1805), que lo introdujo en su Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Nuevos métodos para la determinación de las órbitas de los cometas). Ignorando la contribución de Legendre, un escritor irlandés estadounidense, Robert Adrain, editor de "The Analyst" (1808), dedujo por primera vez la ley de facilidad de error,
siendo c y h constantes que dependen de la precisión de la observación. Expuso dos demostraciones, siendo la segunda esencialmente la misma de John Herschel (1850). Gauss expuso la primera demostración que parece que se conoció en Europa (la tercera después de la de Adrain) en 1809. Demostraciones adicionales se expusieron por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856) y Morgan Crofton (1870). Otros personajes que contribuyeron fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters (1856) para r, el error probable de una única observación, es bien conocida.
En el siglo XIX, los autores de la teoría general incluían a Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la exposición de la teoría.
En la parte geométrica (véase geometría integral) los colaboradores de The Educational Times fueron influyentes (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson y Artemas Martin).
Teoría [editar]
Artículo principal: Teoría de la probabilidad
Como otras teorías, la teoría de la probabilidad es una representación de conceptos probabilísticos en términos formales—esto es, en términos que pueden ser considerados separados de su significado. Estos términos formales se manipulan con las reglas de la matemática y la lógica, y cualquier resultado entonces se interpreta o traduce de nuevo al dominio del problema.
Hay otras reglas para cuantificar la incertidumbre, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la posibilidad, pero éstas son esencialmente diferentes y no compatibles con las leyes de la probabilidad como se entienden normalmente
CÁLCULO ALGEBRAICO
rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2. Un número multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2. Por ejemplo, la notación de 3 × 3 es 32; de la misma manera, a × a es igual que a2.
El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.
Historia
La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.
Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-jabru que significa `reducción', es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwðrizmð; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.
En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Este álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwðrizmð fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.
A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.
Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (véase Número: Números complejos).
En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (véase Combinatoria) de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.
Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.
El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.
Historia
La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.
Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al-jabru que significa `reducción', es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwðrizmð; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.
En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Este álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwðrizmð fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.
A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.
Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (véase Número: Números complejos).
En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (véase Combinatoria) de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.
Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.
CALCULO ARITMETICO
Aunque las construcciones geométricas pueden ser consideradas como un cálculo, de todas formas ha sido el cálculo aritmético el que ha merecido principal atención desde que se estableció un sistema de representación numérica mediante el cual la realización de las operaciones aritméticas podía hacerse de forma sencilla (obsérvese la dificultad de hacer las operaciones aritméticas con la representación numérica establecida por los romanos). A partir del Liber abaci de Leonardo de Pisa (Fibonacci), datado en 1202, se difunde la representación decimal de los números, utilizando para ello las cifras o los guarismos hindúes (arábigos), entre los que se contiene el cero. Las aplicaciones mercantiles y comerciales se ven ampliamente beneficiadas por esta ``nueva tecnología".
A partir de ahí se desarrollan formas practicas de realizar las cuatro reglas mediante procedimientos que son auténticos programas (subrutinas de cálculo en la terminologia informática) que la gente emplea sin saber bien que es lo que hace (alguno de los asistentes sabe que está haciendo cuando realiza una división?sabe por qué realiza esa serie de operaciones?. Tambien aparecen reglas para realizar la raíz cuadrada (que siempre ha sido misteriosa y que ustedes no solo habrán ya olvidado su realización sino también su existencia), aunque en ésta epoca era todavía poco utilizada. Pues estas, van a ser las reglas básicas mediante las que se construyan los cálculos o algoritmos aritméticos. Cada procedimiento nos fija el orden en que debemos emplear las reglas para la realización de los cálculos y obtener los resultados deseados.
Durante los siglos XIV al XVII, el cálculo aritmético (como hemos visto) comienza a extenderse, hasta alcanzar un gran desarrollo. Sobre todo en el último de los siglos mencionados se construyen procedimientos para simplificar los cálculos y para realizarlos mediante máquinas. Por una parte tenemos el descubrimiento de los logaritmos, que redujeron considerablemente la fatiga de los cálculos al reducir el producto a suma, la división a diferencia, y la raíz cuadrada a división por dos, y faciliaron los cálculos apoyandose en la búsqueda en tablas (operación que se puede considerar, tambien, como un cálculo), o se materializaron en un instrumento físico usado hasta épocas recientes como fue la regla de cálculo. Por otra parte, se inventaron las máquinas aritméticas que usaban ruedas y engranajes como elementos constructivos, y que, perfeccionadas, se han conservado hasta bien entrado el siglo XX.
A partir de ahí se desarrollan formas practicas de realizar las cuatro reglas mediante procedimientos que son auténticos programas (subrutinas de cálculo en la terminologia informática) que la gente emplea sin saber bien que es lo que hace (alguno de los asistentes sabe que está haciendo cuando realiza una división?sabe por qué realiza esa serie de operaciones?. Tambien aparecen reglas para realizar la raíz cuadrada (que siempre ha sido misteriosa y que ustedes no solo habrán ya olvidado su realización sino también su existencia), aunque en ésta epoca era todavía poco utilizada. Pues estas, van a ser las reglas básicas mediante las que se construyan los cálculos o algoritmos aritméticos. Cada procedimiento nos fija el orden en que debemos emplear las reglas para la realización de los cálculos y obtener los resultados deseados.
Durante los siglos XIV al XVII, el cálculo aritmético (como hemos visto) comienza a extenderse, hasta alcanzar un gran desarrollo. Sobre todo en el último de los siglos mencionados se construyen procedimientos para simplificar los cálculos y para realizarlos mediante máquinas. Por una parte tenemos el descubrimiento de los logaritmos, que redujeron considerablemente la fatiga de los cálculos al reducir el producto a suma, la división a diferencia, y la raíz cuadrada a división por dos, y faciliaron los cálculos apoyandose en la búsqueda en tablas (operación que se puede considerar, tambien, como un cálculo), o se materializaron en un instrumento físico usado hasta épocas recientes como fue la regla de cálculo. Por otra parte, se inventaron las máquinas aritméticas que usaban ruedas y engranajes como elementos constructivos, y que, perfeccionadas, se han conservado hasta bien entrado el siglo XX.
sábado, 16 de junio de 2007
BONAVENTURA CAVALIERI
Bonaventura Cavalieri (Milán, 1598 - Bolonia, 1647), jesuita y matemático italiano
Principio de Cavalieri.
Fue alumno de Galileo, y enseñó matemáticas en Bolonia (1629). Su interés por las matemáticas fue estimulado por los trabajos de Euclides y luego de encontrar a Galileo, se consideró como un discípulo de este astrónomo. En Pisa, Cavalieri fue educado en matemáticas por Benedetto Castelli, un profesor de matemáticas en la Universidad de esa ciudad.
En 1629 Cavalieri fue nombrado profesor de matemáticas en Bolonia.
Fue el primero en introducir en Italia el cálculo logarítmico, pero debe su celebridad a su teoría de los «indivisibles», que expuso en Geometría indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota (1635). Esta teoría estudia las magnitudes geométricas como compuestas de un número infinito de elementos, o indivisibles, que son los últimos términos de la descomposición que se puede hacer. La medida de las longitudes, de las superficies y de los volúmenes se convierte en efectuar la suma de la infinidad de indivisibles: es el principio del cálculo de una integral definida, aunque sin la noción rigurosa moderna de paso al límite. Por esto puede ser considerado como uno de los precursores del análisis infinitesimal moderno. Figuró entre los primeros que enseñaron la teoría copernicana de los planetas. Otros trabajos suyos dignos de renombre son el desarrollo dado a la trigonometría esférica, así como el descubrimiento de las fórmulas relativas a los focos de los espejos y de las lentes.
Principio de Cavalieri.
Fue alumno de Galileo, y enseñó matemáticas en Bolonia (1629). Su interés por las matemáticas fue estimulado por los trabajos de Euclides y luego de encontrar a Galileo, se consideró como un discípulo de este astrónomo. En Pisa, Cavalieri fue educado en matemáticas por Benedetto Castelli, un profesor de matemáticas en la Universidad de esa ciudad.
En 1629 Cavalieri fue nombrado profesor de matemáticas en Bolonia.
Fue el primero en introducir en Italia el cálculo logarítmico, pero debe su celebridad a su teoría de los «indivisibles», que expuso en Geometría indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota (1635). Esta teoría estudia las magnitudes geométricas como compuestas de un número infinito de elementos, o indivisibles, que son los últimos términos de la descomposición que se puede hacer. La medida de las longitudes, de las superficies y de los volúmenes se convierte en efectuar la suma de la infinidad de indivisibles: es el principio del cálculo de una integral definida, aunque sin la noción rigurosa moderna de paso al límite. Por esto puede ser considerado como uno de los precursores del análisis infinitesimal moderno. Figuró entre los primeros que enseñaron la teoría copernicana de los planetas. Otros trabajos suyos dignos de renombre son el desarrollo dado a la trigonometría esférica, así como el descubrimiento de las fórmulas relativas a los focos de los espejos y de las lentes.
CARL FRIEDRICH GAUSS
Johann Carl Friedrich Gauss (Gauß)▶ (ayuda·info·en ventana) (30 de abril de 1777– 23 de febrero de 1855), fue un matemático, astrónomo y físico alemán de una profunda genialidad, que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido alrededor de la historia.
Gauss fue un prodigio, de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad siendo apenas un pequeño infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente. Completo su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no seria publicada hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teoría de los números se consolidara y ha moldeado esta área hasta los días presentes.
Gauss fue un prodigio, de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad siendo apenas un pequeño infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente. Completo su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no seria publicada hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teoría de los números se consolidara y ha moldeado esta área hasta los días presentes.
EUDOZO DE CNIDOS
(Cnidos, actual Turquía, 400 a.C.-id., 350 a.C.) Astrónomo y matemático griego. Estudió matemáticas con Arquites, filosofía en la escuela de Platón en Atenas y astronomía en Heliópolis. Fue el primero en dar una explicación sistemática de los movimientos del Sol, la Luna y los planetas: para ello, construyó un modelo de 27 esferas concéntricas en el que la esfera exterior correspondía a las estrellas como puntos fijos en el cielo y en el centro, la esfera Tierra. Así mismo, dividió la esfera celeste en grados de longitud y latitud. En matemáticas se atribuye a Eudoxo la teoría de la proporción que se encuentra en el libro V de Euclides, además de la elaboración de un método de calcular áreas y volúmenes delimitados por curva
ARQUÍMEDES DE SIRACUSA
Las mayores contribuciones de Arquímedes fueron en geometría. Sus métodos anticipados de cálculo integral 2.000 años antes de Newton y Leibniz.Arquímedes era un nativo de Siracusa, Sicilia y estudió en Alejandría, volviendo en seguida a su patria. Dedicó su genio a la geometría, mecánica, física e Ingeniería.Su geometría es una geometría de la medida. Efectúa cuadraturas de superficies planas y curvas.Escribió varias obras las cuales se han ordenado según la época en que fueron escritas:
1. Esfera y cilindro.2. Medida del círculo.3. Gnoides y esferoides.4. Espirales.5. Equilibrio de los planos y sus centros de gravedad.6. Cuadratura de la parábola.7. El arenario.8. Cuerpos flotantes.9. Los lemas.10. El método.Arquímedes demostró que la superficie de una esfera es cuatro veces la de uno de sus círculos máximos. Calculó áreas de zonas esféricas y el volumen de segmentos de una esfera. Demostró que " El área de un casquete esférico es igual a la superficie de un círculo que tiene por radio la recta que une el centro del casquete con punto de la circunferencia basal".El problema al cual le atribuía gran importancia era el de demostrar que "El volumen de una esfera inscrita en un cilindro es igual a 2/3 del volumen del cilindro". Como postrer homenaje se colocó una esfera inscrita en un cilindro. Asimismo demostró Arquímedes que la superficie de esta esfera era también los 2/3 de la superficie del cilindro.Es tal vez más interesante su trabajo sobre Medida del circulo. Trata de la rectificación de la circunferencia y el área del círculo. Arquímedes es el primero que hizo un intento verdaderamente positivo sobre el cálculo de p=Pí asignándole un valor entre 3(10/71)El método que empleó consiste en calcular los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos a un mismo círculo.Admite, sin demostrarlos, los principios siguientes:1. " La línea recta es la más corta entre 2 puntos."2. " De 2 líneas cóncavas hacia el mismo lado y que tienen los mismos extremos, es mayor la que queda fuera de la otra".- ó como diríamos ahora " es mayor la línea circundante que la circundada". Este principio lo aplica al círculo y a los polígonos inscritos y circunscritos"3. " De 2 superficies que pasan por una misma curva cerrada, cóncavas hacia un mismo lado, es mayor la exterior."También demuestra que "un círculo es equivalente a un triángulo que tiene por base la circunferencia y por altura el radio."En otra de sus obras se refiere a la mecánica, especialmente a los principios de la palanca. Su punto de partida lo constituyen dos principios fundamentales, que bien pueden considerarse como axiomas del mecánica.1. "Si se tiene una palanca en cuyos extremos actúan pesos iguales, la palanca se equilibrará colocando el punto de apoyo en el medio de ella."2. "Un peso se puede descomponer en dos mitades actuando a igual distancia del punto medio de la palanca".Basándose en estos dos principios estableció las leyes de la palanca. Conocida es su famosa fase para hacer resaltar la aplicación de la palanca como máquina multiplicadora de fuerza: Deduce un punto de apoyo y os levantaré el mundo"Cuenta la historia que Arquímedes un día que se encontraba en el baño observó que sus piernas podía levantarla fácilmente cuando estaban sumergidas. Esta fue la chispa que le permitió llegar a lo que ahora conocemos como "Principios de Arquímedes". Fue tan grande el entusiasmo que le produjo el descubrimiento de su principio que tomó la corona en una mano y salió desnudo del baño corriendo por las calles de Siracusa y gritando su célebre exclamación de júbilo: " ¡ Eureka!, ¡ eureka! "que quiere decir "ya lo encontré". Lo que había hallado era un método para determinar la densidad de los cuerpos tomando como unidad la del agua.Es cierto que los conocimientos y descubrimientos matemáticos de Arquímedes son notables; sin embargo, son tal vez más importantes sus aportes y descubrimientos hechos en la Física".En efecto, fuera del principio de la hidrostática ya nombrado anteriormente y de cuya importancia no es necesario insistir, inventó un sistema de poleas, el torno, la rueda dentada, el tornillo sinfín y una serie de por lo menos cuarenta inventos. Entre ellos es curioso mencionar un tornillo sinfín que se usaba para extraer el agua que había entrado a un barco, a los campos inundados por el Nilo, etc. En el campo militar se le debe la invención de catapultas, de garfios movidos por palancas para inventos mecánicos y ópticos logró defender durante tres años a Siracusa que estaba sitiada por los romanos. Dícese que empleando espejos "ustorios" que son espejos cóncavos de gran tamaño, logro concentrar los rayos solares sobre la flota romana incendiándola. Finalmente, el año 212 cayó Siracusa en manos de los romanos siendo Arquímedes asesinado por un soldado a pesar de haber ordenado el cónsul Marcelo respetar la vida del sabio.
1. Esfera y cilindro.2. Medida del círculo.3. Gnoides y esferoides.4. Espirales.5. Equilibrio de los planos y sus centros de gravedad.6. Cuadratura de la parábola.7. El arenario.8. Cuerpos flotantes.9. Los lemas.10. El método.Arquímedes demostró que la superficie de una esfera es cuatro veces la de uno de sus círculos máximos. Calculó áreas de zonas esféricas y el volumen de segmentos de una esfera. Demostró que " El área de un casquete esférico es igual a la superficie de un círculo que tiene por radio la recta que une el centro del casquete con punto de la circunferencia basal".El problema al cual le atribuía gran importancia era el de demostrar que "El volumen de una esfera inscrita en un cilindro es igual a 2/3 del volumen del cilindro". Como postrer homenaje se colocó una esfera inscrita en un cilindro. Asimismo demostró Arquímedes que la superficie de esta esfera era también los 2/3 de la superficie del cilindro.Es tal vez más interesante su trabajo sobre Medida del circulo. Trata de la rectificación de la circunferencia y el área del círculo. Arquímedes es el primero que hizo un intento verdaderamente positivo sobre el cálculo de p=Pí asignándole un valor entre 3(10/71)El método que empleó consiste en calcular los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos a un mismo círculo.Admite, sin demostrarlos, los principios siguientes:1. " La línea recta es la más corta entre 2 puntos."2. " De 2 líneas cóncavas hacia el mismo lado y que tienen los mismos extremos, es mayor la que queda fuera de la otra".- ó como diríamos ahora " es mayor la línea circundante que la circundada". Este principio lo aplica al círculo y a los polígonos inscritos y circunscritos"3. " De 2 superficies que pasan por una misma curva cerrada, cóncavas hacia un mismo lado, es mayor la exterior."También demuestra que "un círculo es equivalente a un triángulo que tiene por base la circunferencia y por altura el radio."En otra de sus obras se refiere a la mecánica, especialmente a los principios de la palanca. Su punto de partida lo constituyen dos principios fundamentales, que bien pueden considerarse como axiomas del mecánica.1. "Si se tiene una palanca en cuyos extremos actúan pesos iguales, la palanca se equilibrará colocando el punto de apoyo en el medio de ella."2. "Un peso se puede descomponer en dos mitades actuando a igual distancia del punto medio de la palanca".Basándose en estos dos principios estableció las leyes de la palanca. Conocida es su famosa fase para hacer resaltar la aplicación de la palanca como máquina multiplicadora de fuerza: Deduce un punto de apoyo y os levantaré el mundo"Cuenta la historia que Arquímedes un día que se encontraba en el baño observó que sus piernas podía levantarla fácilmente cuando estaban sumergidas. Esta fue la chispa que le permitió llegar a lo que ahora conocemos como "Principios de Arquímedes". Fue tan grande el entusiasmo que le produjo el descubrimiento de su principio que tomó la corona en una mano y salió desnudo del baño corriendo por las calles de Siracusa y gritando su célebre exclamación de júbilo: " ¡ Eureka!, ¡ eureka! "que quiere decir "ya lo encontré". Lo que había hallado era un método para determinar la densidad de los cuerpos tomando como unidad la del agua.Es cierto que los conocimientos y descubrimientos matemáticos de Arquímedes son notables; sin embargo, son tal vez más importantes sus aportes y descubrimientos hechos en la Física".En efecto, fuera del principio de la hidrostática ya nombrado anteriormente y de cuya importancia no es necesario insistir, inventó un sistema de poleas, el torno, la rueda dentada, el tornillo sinfín y una serie de por lo menos cuarenta inventos. Entre ellos es curioso mencionar un tornillo sinfín que se usaba para extraer el agua que había entrado a un barco, a los campos inundados por el Nilo, etc. En el campo militar se le debe la invención de catapultas, de garfios movidos por palancas para inventos mecánicos y ópticos logró defender durante tres años a Siracusa que estaba sitiada por los romanos. Dícese que empleando espejos "ustorios" que son espejos cóncavos de gran tamaño, logro concentrar los rayos solares sobre la flota romana incendiándola. Finalmente, el año 212 cayó Siracusa en manos de los romanos siendo Arquímedes asesinado por un soldado a pesar de haber ordenado el cónsul Marcelo respetar la vida del sabio.
DEMÓCRITO DE ABDERE
Pertenece a la línea doctrinal de pensadores que nació con Thales de Mileto. Esta escuela así como la pitagórica y la eleática, que representan lo más grande del pensamiento anterior, le atribuye gran importancia a lo matemático.Los atomistas pensaban distinto a los eleatas, pues mientras éstos no aceptaban el movimiento como realidad, sino como fenómeno, Leucipo y Demócrito parten de que el movimiento existe en sí.Demócrito pone como realidades primordiales a los átomos y al vacío, o como dirían los eleatas, al ser y al no ser (Recordemos que etimológicamente la palabra átomo en griego, significa indivisible, lo que actualmente sabemos que no es así).Se nota en Demócrito un esfuerzo por sustituir la noción de cualidad por la de cantidad.Se sabe que escribió varios tratados de Geometría y de Astronomía, pero desgraciadamente todos perdidos. Se cree que escribió sobre Teoría de los Números. Encontró la fórmula B*h/3 que expresa el volumen de una pirámide. Asimismo demostró que esta fórmula se la puede aplicar para calcular el volumen de un cono.Se le atribuyen también los siguientes dos teoremas:1º "El volumen de un cono es igual a un tercio del volumen de un cilindro de igual base y altura"2º "El volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma de igual base y altura"Un problema muy diferente a todo lo visto hasta ahora preocupó también a las escuelas de Jonia y de la Magna Grecia: el de la naturaleza de la luz. Demócrito sustenta la teoría de la emisión según la cual la visión es causada por la proyección de partículas que provienen de los objetos mismos. No es esto más que el principio de la larga fila de teorías que se encuentran de la luz en la historia de las ciencias. La teoría de la emisión es costumbre atribuírsela a Newton, que la expuso muchos siglos después.Es importante hacer notar que, desde sus primeros pasos, la ciencia racional trata de buscar una explicación de todos los fenómenos naturales partiendo de un pequeño número de principios básicos. Esta tentativa no dejó de influir favorablemente en el desarrollo ulterior de todas las ciencias.Así hemos visto que, al comienzo, para muchos de estos filósofos prevalecía un principio aritmético-geométrico para explicar muchos hechos. Así, Demócrito hasta el sabor de las cosas lo explicaba bajo este aspecto. En efecto, le atribuía una forma geométrica especial a las cosas para dar tal o cual "gusto": la sensación de dulce se debía a la forma esférica de la sustancia que forma al cuerpo que la produce; lo amargo, se debía a la forma lisa y redondeada, y lo agrio o ácido a lo anguloso y agudo. Un origen e interpretación análogos le atribuía a los fenómenos del tacto.Finalmente diremos sobre el binomio Leucipo-Demócrito que creían que el vacío existía no sólo en el mundo en que vivimos, sino también mucho más allá, en los espacios infinitos del Cosmos. Ellos creían en la existencia de un número infinito de "mundos" todos compuestos de un número infinito de átomos.
EVANGELISTA TORRICELLI
Físico y matemático italiano. Sus contribuciones fundamentales se ubican en el campo de las matemáticas puras, el cálculo integral y el movimiento de proyectiles y fluidos. Torricelli llega a ser el asistente de Galileo durante su última investiga ción. En ella se intenta demostrar la validez de la afirmación de Aristóteles que sostiene que el vacío no existe en la naturaleza. Sin embargo, Galileo muere tres meses después de la llegada de Torricelli. Por su cuenta, el antiguo ayudante busca llevar hasta las últimas consecuencias las intuiciones de su maestro. Experimenta con mercurio, líquido 13,5 veces más denso que el agua. Con este elemento llena un tubo de vidrio de 120 cm de alto; lo tapa por uno de sus extremos e introduce el otro en un recipiente donde hay más mercurio. Una porción del elemento que llena el tubo sale y en el espacio que ocupaba, se crea el vacío. De esta manera se comprueba la afirmación de Aristóteles sobre que el vacío no se da en la naturaleza, sino que es necesario inducirlo artificialmente. Por otra parte, durante las mismas observaciones, nota cómo la columna de mercurio varía su altura. Supone, acertadamente, que ese efecto se debe a cambios en la presión de la atmósfera. A partir de tales experiencias Torricelli inicia sus mediciones del peso del aire, magnitud que antes se consideraba inexistente. Igualmente, a partir del instrumento por él diseñado para sus mediciones, conocido inicialmente como tubo de Torricelli, se desarrolla el barómetro. Este se sigue utilizando en la actualidad para medir la presión atmosférica Por otra parte, Torricelli lleva a cabo trabajos que contribuyen al adelanto de la geometría y las matemáticas puras. A él se debe el llamado teorema de Torricelli, mediante el cual se calcula el flujo de un líquido por un orificio abierto a determinada profundida
PIERRE DE FERMAT
Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601 - Castres, Francia, 12 de enero de 1665), fue un jurísta y destacado matematico . Fue abogado en el Parlamento de Toulouse, en el sur de Francia, y matemático clave para el desarrollo del cálculo moderno. También hizo notables contribuciones a la geometría analítica
Fermat es conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de Pitágoras, también conocido como Último Teorema de Fermat, que torturó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995. Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los líderes matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. A través de su correspondencia con Blaise Pascal, fue co-fundador de la teoría de probabilidades.
Fermat nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, una ciudad situada a 58 kilómetros al noroeste de Toulouse, Francia. La mansión del siglo XV donde nació es en la actualidad un museo. La escuela más antigua y prestigiosa de Toulouse se llama Pierre de Fermat y en ella se imparten clases de ingeniería y comercio. Está situada entre las diez mejores de Francia para clases preparatorias
Fermat es conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de Pitágoras, también conocido como Último Teorema de Fermat, que torturó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995. Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los líderes matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. A través de su correspondencia con Blaise Pascal, fue co-fundador de la teoría de probabilidades.
Fermat nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, una ciudad situada a 58 kilómetros al noroeste de Toulouse, Francia. La mansión del siglo XV donde nació es en la actualidad un museo. La escuela más antigua y prestigiosa de Toulouse se llama Pierre de Fermat y en ella se imparten clases de ingeniería y comercio. Está situada entre las diez mejores de Francia para clases preparatorias
RENÉ DESCARTES
Se recuerda sobre todo a este francés extraordinario por su invención de la Geometría Analítica. Pero su logro más notable fue la reducción de la Naturaleza a leyes matemáticas.
Consideraría que no sé nada de Física si tan sólo fuese capaz de expresar cómo deben ser las cosas, pero fuese incapaz de demostrar que no pueden ser de otra manera. No obstante, habiendo logrado reducir la Física a las Matemáticas, la demostración es entonces posible, y pienso que puedo realizarla con el reducido alcance de mi conocimiento."
René Descartes
Con estas palabras, René Descartes expresa el pensamiento que lo situaría entre los principales artífices de la revolución científica del siglo XVII. A las "formas" y las "cualidades" de la Física Aristotélica, que habían resultado ser un callejón sin salida, contraponía la "idea clara y fundamental" de que el mundo físico no es más que un puro mecanismo. En Geometría Analítica, Descartes creó una técnica que le permitía expresar las leyes de la Mecánica , que constituían las leyes últimas de la Naturaleza, mediante ecuaciones algebraicas. Y entonces propuso el programa ideal de toda ciencia teórica: construir, con un mínimo número de principios, un sistema que diese razón de todos los hechos conocidos y que permitiese descubrir hechos nuevos. Toda la Física Teórica subsiguiente se ha planteado como objetivo la consecución de este ideal. Podemos afirmar que, en el siglo XVII, Blaise Pascal e Isaac Newton lograron llevar a cabo el programa cartesiano, que consiste en ofrecer la explicación del mundo físico en función de su mecanismo.
No podemos dudar del carácter revolucionario ni de la influencia de las ideas teóricas y del programa de Descartes. La paradoja es que ésta haya sido tan profunda en personas que consideraban su enfoque esencialmente inaceptable y que rechazaban algunos de sus presupuestos fundamentales y de sus conclusiones específicas. Christian Huygens, el gran matemático y astrónomo holandés, cuyo padre había sido amigo íntimo de Descartes, afirmó a finales de su vida que sólo podía aceptar una pequeña parte de la Física Cartesiana; pero, al mismo tiempo, reconocía que había sido la obra Los principios de Filosofía de Descartes, lo que inicialmente había abierto sus ojos a la ciencia. Él mismo dijo que Descartes no sólo ponía de manifiesto las limitaciones de la Filosofía de los antiguos , sino que, "en su lugar, ofrece causas comprensibles de todo lo que existe en la Naturaleza". Como suele ocurrir con frecuencia con las teorías revolucionarias, el legado de Descartes no fue sólo un logro, sino también una profecía y una visión.
El propio Descartes se vio obligado a reconocer que su ideal matemático de la ciencia, puramente deductivo, había fracasado ante las complejidades de la Naturaleza y los enigmas de la materia. Este fracaso era especialmente evidente en Fisiología, el campo en el que se había aventurado con mayor osadía. No obstante, de su fracaso y compromiso Descartes extrajo otra contribución para el pensamiento científico, en muchos aspectos tanto o más importante que el propio programa teórico. Forzado a recurrir a la experiencia y a las hipótesis, demostró ser el primer gran maestro del modelo hipotético. Éste se ha convertido en una herramienta esencial en cualquier investigación científica. En sus modelos teóricos de los procesos fisiológicos, Descartes desplegó los más ingeniosos ejercicios de su ingenio imaginativo y experimental.
René Descartes
Con estas palabras, René Descartes expresa el pensamiento que lo situaría entre los principales artífices de la revolución científica del siglo XVII. A las "formas" y las "cualidades" de la Física Aristotélica, que habían resultado ser un callejón sin salida, contraponía la "idea clara y fundamental" de que el mundo físico no es más que un puro mecanismo. En Geometría Analítica, Descartes creó una técnica que le permitía expresar las leyes de la Mecánica , que constituían las leyes últimas de la Naturaleza, mediante ecuaciones algebraicas. Y entonces propuso el programa ideal de toda ciencia teórica: construir, con un mínimo número de principios, un sistema que diese razón de todos los hechos conocidos y que permitiese descubrir hechos nuevos. Toda la Física Teórica subsiguiente se ha planteado como objetivo la consecución de este ideal. Podemos afirmar que, en el siglo XVII, Blaise Pascal e Isaac Newton lograron llevar a cabo el programa cartesiano, que consiste en ofrecer la explicación del mundo físico en función de su mecanismo.
No podemos dudar del carácter revolucionario ni de la influencia de las ideas teóricas y del programa de Descartes. La paradoja es que ésta haya sido tan profunda en personas que consideraban su enfoque esencialmente inaceptable y que rechazaban algunos de sus presupuestos fundamentales y de sus conclusiones específicas. Christian Huygens, el gran matemático y astrónomo holandés, cuyo padre había sido amigo íntimo de Descartes, afirmó a finales de su vida que sólo podía aceptar una pequeña parte de la Física Cartesiana; pero, al mismo tiempo, reconocía que había sido la obra Los principios de Filosofía de Descartes, lo que inicialmente había abierto sus ojos a la ciencia. Él mismo dijo que Descartes no sólo ponía de manifiesto las limitaciones de la Filosofía de los antiguos , sino que, "en su lugar, ofrece causas comprensibles de todo lo que existe en la Naturaleza". Como suele ocurrir con frecuencia con las teorías revolucionarias, el legado de Descartes no fue sólo un logro, sino también una profecía y una visión.
El propio Descartes se vio obligado a reconocer que su ideal matemático de la ciencia, puramente deductivo, había fracasado ante las complejidades de la Naturaleza y los enigmas de la materia. Este fracaso era especialmente evidente en Fisiología, el campo en el que se había aventurado con mayor osadía. No obstante, de su fracaso y compromiso Descartes extrajo otra contribución para el pensamiento científico, en muchos aspectos tanto o más importante que el propio programa teórico. Forzado a recurrir a la experiencia y a las hipótesis, demostró ser el primer gran maestro del modelo hipotético. Éste se ha convertido en una herramienta esencial en cualquier investigación científica. En sus modelos teóricos de los procesos fisiológicos, Descartes desplegó los más ingeniosos ejercicios de su ingenio imaginativo y experimental.
GOTTRIED WILHELM VON LEIBNIZ
( Alemania, 1646-Hannover, id., 1716) Filósofo y matemático alemán.A los doce empezó a interesarse por la lógica aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica.
Fue un verdadero precursor de la lógica matemática. Persiguiendo una idea que le acosa desde la juventud es pos de un “alfabeto de los pensamientos humanos” y de un “idioma universal” se propone el proyecto de construir “una característica universal”, especie de lenguaje simbólico capaz de expresar, sin ambigüedad, todos los pensamientos humanos, de manera que al surgir una controversia entre dos filósofos, éstos la zanjasen a la manera de los calculistas; bastaría en efecto, sentarse ante los ábacos, pluma en mano, y como buenos amigos decirse, en mutuo acuerdo: calculemos.
Esas ideas de Leibniz, que contiene muchos conceptos de la lógica simbólica de hoy, no tuvieron entonces mayor influencia, pues quedaron inéditas hasta el siglo XX. Igual destino tuvieron ideas semejantes esbozadas durante el siglo XVIII y comienzos del XIX. Agreguemos que las ideas de Kant, de gran influencia en su tiempo y para quien no era necesaria “ninguna nueva invención en la lógica”, han contribuido sin duda al estancamiento de esta disciplina. Las cosas cambiaron cuando llegó Boole, el cual se convirtió en el verdadero fundador de la lógica simbólica.
Pero los esfuerzos de Leibniz fuero más allá. Él consideraba que “el trabajo de cálculo, es indigno de hombres excelentes que pierden horas como esclavos y que seguramente podría ser relegado a alguien más común si las máquinas fueran usadas."
Consecuente con lo anterior, Leibniz desarrolló las ideas de Pascal y, en 1671, introdujo el Paso Reckoner, un artefacto que, así como sumaba y restaba, podía multiplicar, dividir, y sacar raíces cuadradas a través de una serie de pasos adicionales. Se trató de un dispositivo que puede ser considerado como el antepasado de los actuales computadores de escritorio. Sus derivaciones siguieron siendo producidas hasta que sus equivalentes electrónicos se hicieron de fácil acceso en los inicios de los años 1970.
El 21 de noviembre de 1675 escribió un manuscrito usando por primera vez la notación de la integral ò f(x)*d(x). En el mismo manuscrito estaba dada la regla para la diferenciación. Esa regla fue dada a conocer dos años después, en julio de 1677.
Fue un verdadero precursor de la lógica matemática. Persiguiendo una idea que le acosa desde la juventud es pos de un “alfabeto de los pensamientos humanos” y de un “idioma universal” se propone el proyecto de construir “una característica universal”, especie de lenguaje simbólico capaz de expresar, sin ambigüedad, todos los pensamientos humanos, de manera que al surgir una controversia entre dos filósofos, éstos la zanjasen a la manera de los calculistas; bastaría en efecto, sentarse ante los ábacos, pluma en mano, y como buenos amigos decirse, en mutuo acuerdo: calculemos.
Esas ideas de Leibniz, que contiene muchos conceptos de la lógica simbólica de hoy, no tuvieron entonces mayor influencia, pues quedaron inéditas hasta el siglo XX. Igual destino tuvieron ideas semejantes esbozadas durante el siglo XVIII y comienzos del XIX. Agreguemos que las ideas de Kant, de gran influencia en su tiempo y para quien no era necesaria “ninguna nueva invención en la lógica”, han contribuido sin duda al estancamiento de esta disciplina. Las cosas cambiaron cuando llegó Boole, el cual se convirtió en el verdadero fundador de la lógica simbólica.
Pero los esfuerzos de Leibniz fuero más allá. Él consideraba que “el trabajo de cálculo, es indigno de hombres excelentes que pierden horas como esclavos y que seguramente podría ser relegado a alguien más común si las máquinas fueran usadas."
Consecuente con lo anterior, Leibniz desarrolló las ideas de Pascal y, en 1671, introdujo el Paso Reckoner, un artefacto que, así como sumaba y restaba, podía multiplicar, dividir, y sacar raíces cuadradas a través de una serie de pasos adicionales. Se trató de un dispositivo que puede ser considerado como el antepasado de los actuales computadores de escritorio. Sus derivaciones siguieron siendo producidas hasta que sus equivalentes electrónicos se hicieron de fácil acceso en los inicios de los años 1970.
El 21 de noviembre de 1675 escribió un manuscrito usando por primera vez la notación de la integral ò f(x)*d(x). En el mismo manuscrito estaba dada la regla para la diferenciación. Esa regla fue dada a conocer dos años después, en julio de 1677.
El TEOREMA DEL BINOMIO
El teorema del binomio, descubierto hacia 1664-1665, fue comunicado por primera vez en dos cartas dirigidas en 1676 a Henry Oldenburg (hacia 1615-1677), secretario de la Royal Society que favorecía los intercambios de correspondencia entre los científicos de su época. En la primera carta, fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a una petición de Leibniz que quería conocer los trabajos de matemáticos ingleses sobre series infinitas, Newton presenta el enunciado de su teorema y un ejemplo que lo ilustra, y menciona ejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto del mismo año, que está en posesión de un método general que le permite obtener diferentes resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y menciona algunos de sus resultados. Interesado por las investigaciones de Leibniz, Newton le responde también con una carta fechada el 24 de octubre en la que explica en detalle cómo ha descubierto la serie binómica.Aplicando los métodos de Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un buen número de series ya existentes eran casos particulares, bien directamente, bien por diferenciación o integración.El descubrimiento de la generalización de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas finitas. El análisis mediante las series infinitas parecía posible, porque ahora resultaban ser una forma equivalente para expresar las funciones que representaban.Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Algebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.
El TEOREMA DEL BINOMIO
La serie del binomio fue descubierta por Newton el invierno de 1664. Aparece expuesta en dos cartas, la Epistola prior de Junio de 1676 y la Epistola posterior de Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg, para que se las transmitiera a Leibniz. Dice Newton:
"La extracción de raíces cuadradas se simplifica con este teorema
(P+PQ)m/n=Pm/n+
m
n
AQ+
m-n
2n
BQ+
m-2n
3n
CQ+
m-3n
4n
DQ+ donde A, B, C, ... son los términos inmediatos que les preceden en el desarrollo".
Expresado de esta forma suena poco familiar, Newton quiere decir que toma
A = Pm/n
B =
m
n
AQ =
m
n
Pm/nQ
C =
m-n
2n
BQ=
m-n
2n
(
m
n
Pm/nQ
)
Q =
(
m
n
)
(
m
n
-1
)
2
Pm/nQ2
D =
m-2n
3n
CQ=
m
n
(
m
n
-1
)
(
m
n
-2
)
3x2
Pm/nQ2
...
y así sucesivamente.
De esta forma queda
Pm/n(1+Q)m/n=(P+PQ)m/n=Pm/n
(
1+
m
n
Q+
m
n
[
m
n
-1
]
2
Q2+
+
m
n
[
m
n
-1
]
[
m
n
-2
]
3 x2
Q3+
)
dividiendo por Pm/n
(1+Q)m/n=1+
m
n
Q+
(
m
n
)
(
m
n
-1
)
2
Q2+
m
n
(
m
n
-1
)
(
m
n
-2
)
2x3
Q2+ que es la expresión más familiar que usamos ahora. Aunque el binomio para enteros positivos era conocido desde hacía tiempo, el interés del descubrimiento de Newton está en que lo usa para exponentes fraccionarios y negativos y en que aparece una suma infinita en vez del desarrollo finito anterior. En nuestra notación actual escribimos comúnmente
(1+Q)a=
¥ S n=1
(
a n
)
xndonde a es un número real cualquiera y los coeficientes binomiales se definen como
(
a n
)
=
a(a-1) (a-n+1)
n!
Para el caso en que a sea entero positivo sale un desarrollo finito ya que
(
a n
)
=
0para n > a, al ser cero uno de los factores del numerador que define el coeficiente binomial. Por ejemplo (1+x)3=1+3x+3x2+x4.
Pero en el caso de no ser a entero aparecen series infinitas como
1
1+x
=(1+x)-1=1-x+x2-x3+
=(1+x)1/2=1+
x
2
-
x2
8
+
x3
16
+ Newton escribió casos particulares como éstos en su carta y las usó para el cálculo de raíces cuadradas. Observó por ejemplo
obteniendo una gran precisión con sólo unos pocos términos. El avance era considerable.
Ahora sabemos que la serie que define (1+x)a converge para x < 1. Newton no habla de convergencia, pero es consciente de ello y usa cierta intuición en sus cálculos, por ejemplo utilizaba
y=
1
1+x2
=1-x2+x4-x6+x8- para x pequeños, pero la cambiaba a
y=
1
1+x2
=
1/x2
1+1/x2
= x-2-x-4-x-6-x-8+ para x grandes.
"La extracción de raíces cuadradas se simplifica con este teorema
(P+PQ)m/n=Pm/n+
m
n
AQ+
m-n
2n
BQ+
m-2n
3n
CQ+
m-3n
4n
DQ+ donde A, B, C, ... son los términos inmediatos que les preceden en el desarrollo".
Expresado de esta forma suena poco familiar, Newton quiere decir que toma
A = Pm/n
B =
m
n
AQ =
m
n
Pm/nQ
C =
m-n
2n
BQ=
m-n
2n
(
m
n
Pm/nQ
)
Q =
(
m
n
)
(
m
n
-1
)
2
Pm/nQ2
D =
m-2n
3n
CQ=
m
n
(
m
n
-1
)
(
m
n
-2
)
3x2
Pm/nQ2
...
y así sucesivamente.
De esta forma queda
Pm/n(1+Q)m/n=(P+PQ)m/n=Pm/n
(
1+
m
n
Q+
m
n
[
m
n
-1
]
2
Q2+
+
m
n
[
m
n
-1
]
[
m
n
-2
]
3 x2
Q3+
)
dividiendo por Pm/n
(1+Q)m/n=1+
m
n
Q+
(
m
n
)
(
m
n
-1
)
2
Q2+
m
n
(
m
n
-1
)
(
m
n
-2
)
2x3
Q2+ que es la expresión más familiar que usamos ahora. Aunque el binomio para enteros positivos era conocido desde hacía tiempo, el interés del descubrimiento de Newton está en que lo usa para exponentes fraccionarios y negativos y en que aparece una suma infinita en vez del desarrollo finito anterior. En nuestra notación actual escribimos comúnmente
(1+Q)a=
¥ S n=1
(
a n
)
xndonde a es un número real cualquiera y los coeficientes binomiales se definen como
(
a n
)
=
a(a-1) (a-n+1)
n!
Para el caso en que a sea entero positivo sale un desarrollo finito ya que
(
a n
)
=
0para n > a, al ser cero uno de los factores del numerador que define el coeficiente binomial. Por ejemplo (1+x)3=1+3x+3x2+x4.
Pero en el caso de no ser a entero aparecen series infinitas como
1
1+x
=(1+x)-1=1-x+x2-x3+
=(1+x)1/2=1+
x
2
-
x2
8
+
x3
16
+ Newton escribió casos particulares como éstos en su carta y las usó para el cálculo de raíces cuadradas. Observó por ejemplo
obteniendo una gran precisión con sólo unos pocos términos. El avance era considerable.
Ahora sabemos que la serie que define (1+x)a converge para x < 1. Newton no habla de convergencia, pero es consciente de ello y usa cierta intuición en sus cálculos, por ejemplo utilizaba
y=
1
1+x2
=1-x2+x4-x6+x8- para x pequeños, pero la cambiaba a
y=
1
1+x2
=
1/x2
1+1/x2
= x-2-x-4-x-6-x-8+ para x grandes.
ISSAC NEWTON (1642-1727)
Sus años más fecundos fueron durante el periodo 1665-1666 cuando cerraron la Universidad de Cambridge, donde era estudiante, debido a la peste bubónica. Newton se recluyó en su casa natal y allí descubrió el Teorema del binomio, el cálculo diferencial e integral, la ley de gravitación universal y la Teoría de los colores. Prácticamente todos los descubrimientos importantes de su vida. Newton tardó mucho en publicar sus trabajos ya que no le gustaban las controversias y quería evitar la crítica de sus contemporáneos. En los últimos años de su vida fue miembro del parlamento británico y presidente de la Royal Society y considerado como un tesoro nacional.
Tal como hemos indicado, Newton concibió su cálculo durante los años 1665-1666. Después lo describió en numerosas cartas personales y en un pequeño tratado no publicado, De Analysi (1669) que circuló entre los matemáticos ingleses de la época y que fue en parte incluído en el tratado De Algebra de John Wallis en 1669. Luego organizó y describió todos sus trabajos anteriores sobre el cálculo en De Methodis Serierum et Fluxionumque escribió en 1671, pero que no fue publicado hasta después de su muerte en 1736. La principal obra de Newton es Philosophiae Naturalis Principia Mathematica que fue publicada en 1687 y donde expone muchísimas propiedades sobre las secciones cónicas y su famosa ley de gravitación universal. En este último no muestra realmente su cálculo, ya que los argumentos de Principia son principalmente de geometría sintética.
El último tratado que escribió, pero el primero que se publicó, fue De Quadratura Curvarum. Escrito entre los años 1691-1693 apareció como un apéndice de su Opticks de 1704. Cabe señalar también las dos cartas, donde expone su teorema del binomio, la epistola priorde Junio de 1676 y la epistola posteriorde Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg, para que éste se las transmitiera a Leibniz.
Tal como hemos indicado, Newton concibió su cálculo durante los años 1665-1666. Después lo describió en numerosas cartas personales y en un pequeño tratado no publicado, De Analysi (1669) que circuló entre los matemáticos ingleses de la época y que fue en parte incluído en el tratado De Algebra de John Wallis en 1669. Luego organizó y describió todos sus trabajos anteriores sobre el cálculo en De Methodis Serierum et Fluxionumque escribió en 1671, pero que no fue publicado hasta después de su muerte en 1736. La principal obra de Newton es Philosophiae Naturalis Principia Mathematica que fue publicada en 1687 y donde expone muchísimas propiedades sobre las secciones cónicas y su famosa ley de gravitación universal. En este último no muestra realmente su cálculo, ya que los argumentos de Principia son principalmente de geometría sintética.
El último tratado que escribió, pero el primero que se publicó, fue De Quadratura Curvarum. Escrito entre los años 1691-1693 apareció como un apéndice de su Opticks de 1704. Cabe señalar también las dos cartas, donde expone su teorema del binomio, la epistola priorde Junio de 1676 y la epistola posteriorde Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg, para que éste se las transmitiera a Leibniz.
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